Mtumiaji:Kisare/Upanuzi wa mfululizo

Uhaishaji unaoonyesha husisho kosini likikadiriwa na vifupisho vya mfululizo wake wa Maclaurin.

Katika hisabati, upanuzi mfululizo ni mbinu ambao huonyesha husisho kama jumla isiyokoma, au mfululizo, ya mahusisho rahisi zaidi. Ni mbinu ya kukokotoa husisho ambalo haliwezi kuonyeshwa kwa vitendaji vya kimsingi tu (kujumlisha, kutoa, kuzidisha na kugawanya).

Mara nyingi, mfululizo tokeo unaweza kufupishwa hadi idadi ya vipengele vikomavyo, hivyo kutoa kadirio la husisho hilo. Kiasi vipengele vya mfululizo vinavyojumulishwa, ndivyo kadirio linavyokuwa sahihi zaidi. Mara nyingi, upungufu unaotokea kati ya kadirio na thamani halisi (yaani, jumla ya vipengele vilivyotelekezwa) unaweza kuelezwa kwa mwandiko wa O kubwa (tazama pia: upanuzi wa kiugo).

Aina za upanuzi mfululizo

Mfululizo wa Taylor

Mfululizo wa Taylor ni mfululizo wa vipeo unaotokana na vinyambuo kwenye nukta moja. Kihususa, kama husisho $f:U\to \mathbb {R}$ likitenguka kiusokomo kuzunguka nukta $x_{0}$, hivyo mfululizo wa Taylor wa $f$ kuzunguka nukta hiyo watolewa na:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

ikiwa desturi $0^{0}:=1$. Mfululizo wa Maclaurin wa $f$ ni mfululizo wake wa Taylor kuzunguka $x_{0}=0$.

Mfululizo wa Laurent

Mfululizo wa Laurent ni jumuisho la mfululizo wa Taylor, ukiruhusu vipengele vyenye vipeo hasi; mfululizo una umbo wa ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$ na hukutana kuelekea kipete. Hasa mfululizo wa Laurent unaweza kutumiwa ili kuchunguza mwenendo wa husisho changamano karibu na shani ukifikiriwa upanuzi mfululizo kwenye kipete chenye shani ya kitovuni.

Mfululizo wa Dirichlet

Mfululizo wa Dirichet una umbo ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$

Mfululizo wa Fourier

Mfululizo wa Fourier ni upanuzi wa mahusisho ya kurudiarudia kama jumla ya sini na kosini. Mfululizo wa Fourier wa husisho $f(t)$ lenye kipindi cha $2L$ watolewa na uonyesho:

$a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]$

ambapo vizigeu vyatolewa na fomula:

${\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt,\\b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.\end{aligned}}$

Mifano

Yafuatayo ni mfululizo wa Taylor wa $e^{x}$: $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...$

Mfululizo wa Dirichlet wa husisho zeta la Reimann ni $\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots$