Mtumiaji:Kisare/Upanuzi wa mfululizo

Uhaishaji unaoonyesha husisho kosini likikadiriwa na vifupisho vya mfululizo wake wa Maclaurin.

Katika hisabati, upanuzi wa mfululizo ni mbinu ambao huonyesha husisho kama jumla isiyo na kikomo, au mfululizo, ya husisho rahisi zaidi. Ni mbinu ya kukokotoa husisho ambalo haliwezi kuonyeshwa kwa vitendaji vya kimsingi tu (kujumlisha, kutoa, kuzidisha na kugawanya).

Mara nyingi, mfululizo tokeo unaweza kufupishwa hadi idadi ya vipengele vyenye kikomo, hivyo kutoa kadirio la husisho hilo. Kadiri vigezo vichache vya mlolongo vinavyotumika, ndivyo takriban hii itakavyokuwa rahisi zaidi. Mara nyingi, upungufu unaotokana (yaani, jumla ya sehemu ya vigezo vilivyopuuzwa) unaweza kuelezwa kwa mlinganyo unaohusisha mwandiko wa O kubwa (tazama pia: upanuzi wa kiugo).

Aina za upanuzi wa mfululizo

Mfululizo wa Taylor

Mfululizo wa Taylor ni mfululizo wa vipeo inatokana na vinyambuo kwenye nukta moja. Kihususa, kama husisho $f:U\to \mathbb {R}$ likitenguka kutokuwa na kikomo kuzunguka nukta $x_{0}$, hivyo mfululizo wa Taylor wa $f$ kuzunguka nukta hiyo watolewa na:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}$

ikiwa desturi $0^{0}:=1$. Mfululizo wa Maclaurin wa $f$ ni mfululizo wake wa Taylor kuzunguka $x_{0}=0$.

Mfululizo wa Laurent

Mfululizo wa Laurent ni jumuisho la mfululizo wa Taylor, ukiruhusu vipengele vyenye vipeo hasi; mfululizo una umbo ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$ na hukutana kuelekea kipete. Hasa mfululizo wa Laurent unaweza kutumiwa ili kuchunguza mwenendo wa husisho changamano karibu na shani ukifikiriwa upanuzi wa mfululizo kwenye kipete chenye shani ya kitovuni.

Mfululizo wa Dirichlet

Mfululizo wa Dirichet una umbo ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}s}.}$

Mfululizo wa Fourier

Mfululizo wa Fourier ni upanuzi wa mahusisho ya kipindi kama jumla ya sini na kosini nyingi. Mfululizo wa Fourier wa husisho $f(t)$ lenye kipindi $2L$ watolewa na uonyesho:

$a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)\right]$

ambapo vizigeu vyatolewa na fomula:

${\begin{aligned}a_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\cos \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt,\\b_{n}&:={\frac {1}{L}}\int _{-L}^{L}f(t)\sin \left({\frac {n\pi t}{L}}\right)dt.\end{aligned}}$

Mifano

Yafuatayo ni mfululizo wa Taylor wa $e^{x}$: $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}...$

Mfululizo wa Dirichlet wa husisho zeta la Reimann ni $\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+\cdots$